Semejanza y proporción

El gnomon como mediación

Vimos en la entada anterior cómo el gnomon era, dentro de la tradición pitagórica, una construcción dirigida a posibilitar el crecimiento de los números entendidos geométricamente. Por ejemplo, en el caso de los números cuadrados y rectangulares, dicha construcción permitía encarnar la diferencia entre lo semejante y cambiante, entre lo limitado y lo ilimitado. Con la serie de los números cuadrados tenemos entonces la idea de la variación del tamaño y la magnitud con el preservarse de la forma, del aspecto. Esto está ligado también a la idea de las figuras geométicas que reproducen en su interior una copia de sí mismas. Esto conduce a generalizar el concepto de gnomon como lo que "añadido a cualquier entidad, número o figura , vuelve el todo semejante a la entidad a la que fue añadido." (Herón, tomado de Zellini, 1999 p. 33). El gnomon representa así una mediación, una conexión entre aquello que difiere en primera instancia pero que encuentra por medio de él una conjunción. El número, y el gnomon son vistos como portadores del logos, de aquello que permite que las cosas sean cognoscibles:

"En efecto, la naturaleza del número es normativa, directriz e instructiva para todos en todo lo que suscita dudas o fuera desconocido. Pues ninguna cosa resultaría clara a nadie, ni en sí misma ni en relación con otra, si el número no fuera su realidad. Ahora bien, al poner en armonía todas las cosas con la percepción en lo que el alma concierne, el número las hace cognoscibles y concordantes entre sí de acuerdo con la naturaleza del gnomon, dándoles corporeidad y dividiendo las relaciones de las cosas singularmente tanto de las ilimitadas como de las limitadas." (44 B 11)

El gnomon aparece también en distintas construcciones geométricas, como por ejemplo, de manera muy clara, en la proposición 4 del libro II de los Elementos de Euclides (dedicado al álgebra geométrica) . Tenemos por ejemplo en la proposición 4, una construcción que demuestra lo que en notación moderna indicamos con :

La figura puede ser vista como la adición de un gnomon a un cuadrado original de lado a para obtener una figura semejante (otro cuadrado) de lado a+b. En este sentido, podemos interpretar a b como un incremento de a que nos permite agrandar el área dada.

Razones y proporciones

Tal vez se puede afirmar que el concepto en torno al cual gira la filosofía griega de manera más central es el de logos. Este término clave abarca una amplia pluralidad de semántica: discurso, palabra, ley, razón, etc.

Pertenece a la raíz indoeuropea "lg" junto con otras palabras como las latinas "ligare" (unir) y "lex, legis" (ley). Así, el logos permite la unidad y el vínculo, la coligazón que impide la dispersión.

Heráclíto nos habla de un logos que rige el universo y los hombres, y este sentido es retomado por los pitagóricos e incorporado a las matemáticas. La conformidad con el logos, tanto en la physis como en la matemática, es entendida a partir de la relación entre las distintas medidas, entre las distintas cantidades. Así, entre dos magnitudes, al entrar en relación y al referirse la una respecto a la otra, se establece una razón. La proporción entre figuras geométrica se encuentra en la posibilidad de encontrar una igualdad entre dos razones.

Un problema característico de la geometría griega es también el de encontrar el "medio proporcional" entre dos segmentos dados. Este se puede resolver al yuxtaponerlos y construír una (semi)circunferencia con centro en el punto medio de su suma. En nuestra figura, dados los segmentos AD y DB podemos construír la circunferencia con diámetro AB. El punto C en ella, obtenido a partir de la perpendicular a AB por D, determina el segmento DC que es el medio proporcional, es decir que AD:DC=DC:DB.

En términos geométricos, esto se interpreta como la posibilidad de transformar un rectángulo dado en un cuadrado de área equivalente. En nuestro caso, el rectángulo con lados AD y DB en un cuadrado de lado CD.

Tenemos pues que la forma está regulada por una razón (una ratio). Otro problema ligado a esta comprensión es la de encontrar figuras semejantes queriendo obtener una razón determinada entre ellas. un ejemplo típico es el que encontramos en el Menón de Platón: dado un cuadrado, construir un cuadrado con el doble de área.

El trabajo mayéutico de Sócrates con el esclavo con quien habla, pasa por distintos callejones sin salida y revisiones de las falsas creencias iniciales, hasta llegar finalmente a la solución del cuadrado construído sobre la diagonal del cuadrado dado:

Mediante variaciones de esta construcción el triple podemos también construir un cuadrado con área triple:

Generalizando esta idea, podemos construir, dado un cuadrado, un cuadrado n veces mayor. La siguiente figura muestra la espiral obtenida al hacerlo hasta el paso 17:

La proporción aurea

Recordemos en este contexto también la proporción áurea, o proporción "divina" en tanto que lo divino es entendido por Filolao como "lo distinto de lo que es otro" ( 44 B 20, en Zellini 1999, p. 37). El problema consiste aquí en dividir un segmento dado (AB) con un punto E, de tal manera que el segmento mayor obtenido (AE) sea medio proporcional entre el segmento total (AB) y el menor (EB). Aquí la construcción con regla y compás:

Dicha proporción se encuentra presente en el pentágono regular, cuyas diagonales forman el pentagrama-estrella, símbolo distintivo de la secta pitagórica. En efecto, el lado y la diagonal están en proporción áurea. Vemos al interior replicarse la presencia del pentágono, cuyas diagonales podríamos trazar a su vez, en un proceso iterativo sin fin.

El pentágono está ligado también a la simbología del 5 que representa el microcosmos, el mudo humano que está en correspondencia con el 10, el macrocosmos, el mundo en su totalidad y lo divino.

Pentagrama y cuerpo humano (Cornelius Agrippa)

La proporción áurea se ha convertido en uno de los temas más recurrentes en la divulgación de las matemáticas. Aquí la versión de Disney:

Bibliografía

D'Amore, B. (2015). Arte e matematica: Metafore, analogie, rappresentazioni, identità tra due mondi possibili. Edizioni Dedalo.

Eggers Lan, C., & Juliá, V. E. (1978). Los filósofos presocráticos I. Madrid: Gredos.

Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza editorial, 2012.

Platón (1992). Diálogos II. Gorgias, Menéxeno, Eutidemo, Menón, Crátilo. Madrid: Biblioteca Clásica Gredos.

Poratti, A., Eggers Lan, C., M.I. Santa Cruz de Prunes & Cordero, N.L.. (1980). Los filósofos presocráticos III. Madrid: Gredos.

Zellini, P. (1999). Gnomon: una indagine sul numero. Adelphi Edizioni.