El infinito en Florenski (3)

Codex alcobacense, por Rabanus Maurus (780-856).

Los símbolos del infinito (Tercera parte)

Al igual que en las entrada anterior, en esta entrada me limito a traducir de manera integral la tercera sección del ensayo de Florenski. 

3

Por muchos siglos la argumentación de Orígenes fue un obstáculo muy sólido. No había signos para capturar el infinito actual, y los intentos para crearlos (Fontenelle[1]) no fueron afortunados hasta que la obra infatigable, la fuerza especulativa indómita y la fe ardiente en el éxito por venir no condujeron, finalmente, a Cantor a la meta deseada. Él demostró que esos símbolos podían ser creados, que también nosotros - y no solo el espíritu absoluto- podíamos tener la idea de un conjunto infinito. Los símbolos de Cantor no son necesarios solo para la lógica, sino también para la historia, y son además modernos en sumo grado. Todo el desarrollo de los conceptos generales sobre los conjuntos consistió en una ampliación gradual de la serie numérica, en su expansión, y era por tanto natural esperar que al concluirse el desarrollo de la serie de los números finitos, la ciencia habría de pasar a los suprafinitos. Observemos ahora a grandes líneas el proceso de esta ampliación.

Fue cuando la niebla caótica, confusa de las sensaciones, de los flujos que corren entre los individuos se dispuso por la primera vez a una acción organizadora, que esta se sometió a un Plan divino, sistematizándose según un Sistema, diferenciándose, articulándose, pasando de un apeiron indefinido y perturbador a una mezcla de potencias, a un mundo de las representaciones articulado y ordenado jerárquicamente. Es obvio que la victoria sobre el caos, la sujeción de un conjunto de lo invisible y de lo informe, no fue obtenida inmediatamente y con un solo esfuerzo. No puede decirse todavía hoy que esta esté concluida: una mirada, incluso solo un poco atenta, notará los fosos mal cubiertos de los cuales el humor primordial está listo a salpicar como turbia fuente en cada momento. Incluso si no fuera así, si una victoria tal hubiera sido alcanzada, por sí misma no bastaría todavía. Hemos creado el conjunto, hemos creado representaciones, pero estamos siempre y en todo caso amarrados. Estamos ligados por la representación aperceptiva que se apodera de la mirada; nuestro ser está completamente absorto en una sola cosa. No hay universalidad. Se capta una cosa y el resto sirve solo de escenario genérico, deja la sensación de un conjunto indefinido, confuso. Son las petites perceptions, la sensación experimentada cuando se entra de improviso en una habitación llena de gente. Ahí allí muchas personas, incluso <<muchísimas>>, pero cuántas con precisión no sabríamos decirlo ni siquiera aproximadamente.

(...)

Así de un conjunto indefinido se evidencia la unidad. En eso consiste el más elemental sistema de enumeración (Bobynin).

El poco espacio no nos permite ver como surgieron los otros sistemas de numeración en los que al concepto de <<uno>> se añadieron los de <<dos>>, <<tres>>, etc., mientras que todo conjunto sucesivo al enumerable con los símbolos numéricos obtenidos es un conjunto innumerable, indefinido, del que se tiene todavía hoy huella en nuestra lengua cuando hablamos de un <<número infinito>> del hecho que <<un día duró infinitamente>>, etc. Conceptos como el de <<montón>>,  <<muchedumbre>> y semejantes, sometidos con razón a la crítica corrosiva de los sofistas, llevan consigo un rasgo indudable de la época en la que la creación de la serie de números naturales no había sido todavía acabada. En la estructura de la lengua el singular y el plural son formas aptas para el pensamiento primordial, para cuando la ideación de la serie apenas había iniciado. La aparición del género dual fue una grande evolución. El proceso de aparición de nuevas formas gramaticales (el <<trial>>, etc.) se detuvo, lo que es más que comprensible, ya que sería abrumadoramente antieconómico crear una forma gramatical específica para cada número. Para la lógica, sin embargo, el <<tres>> no es más complejo ni menos primario que el <<uno>> no disfrutando este ningún privilegio en comparación a aquel. Sería adecuado, o bien no distinguir los números sin nunca concordarlos, o bien concebir una forma gramatical particular para cada número singular específico,  algo imposible siendo los números infinitos. Queriéndolo o no, sin embargo, constreñir el pensamiento a formas de discurso obsoletas.

El dual de muchas lenguas (egipcio, árabe, hebreo, sánscrito, griego, godo y paleoslavo), el cálculo por pares de algunos pueblos salvajes (de las Islas Marquesas), así como también entre nosotros la díada infinita de los pitagóricos y de los platónicos cómo todo esto remite al periodo en el que el grupo de 2 objetos presentaba para la mente una diferencia sustancial respecto a cualquier otro grupo de objetos de número mayor. Dos era el símbolo del mayor entre los grupos que se podían contar. Cualquier grupo con un número superior de objetos hubiera sido, en este estadio del pensamiento, un conjunto innumerable, un conjunto que no se podía contar, <<como las estrellas del cielo y como la arena que está en la playa>>[2].

Transcurrieron los siglos y se fueron añadiendo nuevos símbolos numéricos. Aquí es importante subrayar una circunstancia. V. V. Bobynin ha aclarado que el cálculo con los dedos antecedió al verbal; por lo tanto era natural esperar un retraso de este último respecto al de las manos. Lo cual está confirmado por los hechos. A menudo, entonces, el cálculo verbal conserva mejor, respecto al de los dedos, los rastros de las épocas primordiales. De dos conjuntos diferentísimos pero ambos infinitos, cada uno de nosotros dirá que son innumerables por más de que intuya que son diferentes entre sí.

Algunas citas  para confirmar lo dicho: << el cómputo verbal ha conservado bien en muchas de las tribus más info y más de nuestro tiempo algunos de los grados recorridos en la evolución del cómputo con los dedos. En nuestros días hay tribus que disponen de un solo nombre para el 1 y el 2 y para las que todo número superior está indicado con la palabra mucho. Dice D’ Orbigny: "los Chiquitos ne savent compter que jusqu’à un (tama), n'ayant plus ensuite que des termes de comparaisons">>.[3]

Lo que D’ Orbigny escribe sobre los Chiquitos se ve confirmado también en las investigaciones más recientes sobre ese pueblo que han llevado a las siguientes conclusiones. Su idioma carece totalmente de el modo de expresar el número <<uno>> y los indefinidos <<poco>>, <<mucho>> y <<todo>>. Si se les pregunta sobre los números sobre las cifras mayores como, por ejemplo, el dos, el tres, el cuatro etc., los Chiquitos muestran el número correspondiente de los dedos de la mano... Según el testimonio de Spix y Martius, los botocudos dicen mokenma para el 1, urhù para el 2 y <<mucho>> para todo número superior... Según Lichtenstein la tribu de los Saabe africanos tiene términos solo para el 1 (t'koay) el 2 (tku'h). Sí los Botocudo y los Saabe son entonces testimonios directos de esa época remota en la que el sistema de computación no iba más allá del 2, otra tribu brasilera - los Purí- resulta pertenecer a un grado superior de la evolución ya que entre los numerales comprende también el 3... llamando todo número superior <<mucho>> etcétera. Para el conjunto del material documentario correspondiente remito al lector a la a las obras ya citadas de Bobynin, Tylor[4], etc.

No todos los números de la serie natural se obtienen con la misma facilidad, no todos requieren los mismos esfuerzos. Cuando, por ejemplo, el hombre llegó a 5 y acabó los dedos de una mano, quedó perplejo respecto a qué hacer. Y si bien su conciencia era ya suficientemente desarrollada, habrá habido sin duda alguno que se tomó el trabajo de demostrar la imposibilidad de números superiores al cinco.

Habría podido hacerlo, por ejemplo, de este modo: todos los números, habría podido sostener, son tales que restando de ellos un número cualquiera debería quedar un resto menor que cinco. Supongamos, inversamente, que existiera un número <<seis>> mayor que cinco. Según la definición de <<seis>>  restándole la unidad obtendremos el número <<cinco>> que sin embargo no es inferior a cinco. En consecuencia, nuestra suposición es absurda y el número <<seis>> no puede existir, quod erat demonstrandum. Por más irreal que sea esta demostración, la mayor parte de las pruebas contra los números infinitos - si bien en una exposición más decorosa - afirma cosas análogas: así son por ejemplo las pruebas de Fénelon, Moigno, Gerdil, etc.

Se requería un genio capaz de entender que la peculiaridad de los de dar un resto inferior a cinco no era sustancial y que para contar numeros mayores a cinco se podía pasar a la otra mano. Lo mismo se puede decir para los números 11, 16, 21 etc. Segun Krashenínnikov los Kamchadaly todavía no han pensado contar el veintiuno en las manos de otra persona; cuando cuentan usan todos los dedos de las manos com luego pasan a los pies y haciendo esto llegan al 20, después de lo que se preguntan asombrados: <<¿y ahora?>> <<La idea que para contar el veintiuno se podría utilizar un dedo de la mano de otra persona - dice Bobynin - liberó el género humano del citado impedimento y al tiempo le dio modo de desarrollar más allá la numeración sin encontrar obstáculos>>. Sin embargo, antes de llegar a expresiones del tipo << dos manos y un dedo del pie>> para el 11 o << tres del pie de una tercera persona>> para el 53, fue necesario un enorme trabajo del intelecto, y cuando centelleará la idea de la que somos deudores a sus inventores, arderá con particular vehemencia la conciencia de la afinidad con todo lo que es sobrepasado cómo de una conexión real que nunca se interrumpió, y la idea de la iglesia tendrá entonces un vigor particular, especial.

Son épocas que la historia de la matemática rusa nos muestra con evidencia particular. Siendo una especie de microcosmos en el que todos los eventos proceden a medida reducida y a un ritmo acelerado, la historia de la matemática lo equipara acertadamente al sistema de Júpiter en astronomía. Sí puede decir que vemos sucederse bajo nuestros ojos a los períodos de la evolución de la ciencia matemática desde el antiguo Egipto casi hasta nuestros días. La incógnita, la época necesaria para nosotros, la encontramos en el Seiscientos. Esto dice un historiador de la matemática rusa: << la computación verbal de nuestros manuscritos matemáticos es notable por su elaboración y las particularidades de los sistemas y de las denominaciones utilizadas por estos para indicar las unidad de las diferentes categorías. Que estaban vigentes dos sistemas análogos. El primero, llamado a veces número pequeño, no iba más allá de los miles de millones. Las unidades de las distintas categorías eran indicadas en el modo siguiente. Para las inferiores a diezmil había las denominaciones conocidas de unidades, decenas, centenas y miles. Más allá de diezmil habían tma, t'ma (caterva) para designar el diezmil, legion (legión, montón) para cienmil o para 10 t'ma - que es lo mismo- y leodr para designar un millón o diez legion. Seguían las decenas, las centenas y los miles de leodr. El otro sistema, utilizado " cada vez que se presentara un computo grande o un elenco", era llamado usualmente número grande verbal. Llegaba hasta unidades de 48ª si no de 49ª categoría, o sea hasta expresar de manera extensiva números de 48 o 49 cifras. Y más que esto - se dice usualmente en los manuscritos - la mente humana no puede entender... Las denominaciones de base utilizadas en el segundo sistema eran las mismas del primero, pero con un valor diferente para las mayores, comenzando a partir de t'ma. En el gran computo t'ma valía mil miles o un millón, legion valía una t'ma de t'ma, o sea un millón de millones, o sea un billón, y, finalmente, leodr valía un legion de millones o de billones. En algunos manuscritos se encuentra también el término voron, que no se usaba en el cómputo pequeño, para significar un leodr de leodr... Las denominaciones de las unidades de todas las 48 o 49 categorías con las expresiones por extenso de las mismas como diferentes números mediante cifras hindúes y eslavas eran a veces agrupadas en una tabla, definida usualmente " marca escrita con número grande" (...). Mediante esa tabla, se dice en un manuscrito, "se puede decir y se puede dar nombre a los números de las diferentes líneas...". Sin embargo, la unidad de 49ª categoría, o sea el voron, no era siempre el límite extremo del sistema de computación que usaban nuestros abuelos. A veces, como demuestran algunos manuscritos de contenido no matemático (siglo XVII), se iba más allá y se llegaba hasta a unidades de 50ª categoría, o sea hasta las decenas de voron. Así como para las anteriores, también para nuestra nueva unidad se decía que "más allá de tal número no hay ninguno mayor" y se definía con la denominación adecuada de koloda...>>.

Hasta ahora hemos examinado sistemas de numeración que, Una vez que llegaban a unidades de uno o de otro orden, al símbolo supremo, Se detenían y ponían un punto:<< más allá de tal número no hay mayores>>. Esta conciencia de un límite de la serie natural sin embargo, poco a poco se fue agrietando, sustituida por una consideración opuesta. La serie de los números podía continuarse según el gusto com no existía un número máximo y después de cada número se podía indicar otro y otro más. Aunque de forma imprecisa, la idea de la no limitación de la serie de los números apareció entre los hindúes cómo y la mente Que había acabado de hacer ese descubrimiento sí entre tú con una <<verificación>> práctica de este. Las especulaciones numéricas con números enormes en las leyes de Manu, Todas las ideas cosmogónicas, la leyenda del buda que derrotaba a los sabios en el contar y otros hechos análogos están permeados por la idea del infinito potencial por más que esta última, como es claro, no es trazada de manera suficientemente exacta. Y quisieran callarnos con la idea de mal infinito que, no hay duda, se esconde detrás de los grandes numeros. Es de anotar que la idea del infinito potencial es la idea nacional de los arios, prevalentemente de los hindúes, mientras que la del infinito actual pertenece a los semitas y de manera especial a los hebreos.

Un ejemplo del pensamiento hindú: << la unión de los mil mundos del deseo con los mil mundos transitorios forma para los budistas el llamado pequeño kilocosmos, o sea la pequeña computación milesimal de los mundos. El tercer grado del mundo de las formas abraza los mil mundos del segundo grado y mil pequeños kilocosmos, en consecuencia un millón de tierras y soles, en suma, un millón de mundos del deseo con un millón de mundos transitorios. El cuarto grado abraza mil mundos, cada uno de los cual es con mil millones de mundos de primer grado y con un millón de segundo. Este es el gran kilocosmos. 2 nombrados le sigue otro, todavía superior, el mundo celeste " de lo amorfo" con sus cuatro cielos, o sea un mundo en el que no hay ninguna forma de existencia, no hay ningún signo de vida. Sin embargo, en su objetivo de aumentar el número de mundos budistas no se limitan a esto. El gran kilocosmos, que se compone de mil millones de mundos, a su vez se divide en un conjunto de kilocosmos análogos. Miles de estos grandes kilocosmos, para la concepción budista, pasan a formar el sistema del mundo sobre el cual se extiende la influencia de Buda y en donde se oye su palabra. Todo esto no es más que un punto en el infinito inagotable com más que una gota en el mar...Para designar el número de los mundos se escribe una línea de cifras de 44mil pies de largo compuesta por 4456448 ceros>>.[5]

estas ideas bastante confusas fueron formuladas de manera neta y definitiva por arquímedes en su célebre Ψαμμίτης[6], carta al rey Gelón. Arquímedes demuestra que mediante subidas de grado[7] se puede obtener un número capaz de contar cualquier conjunto finito, por más grande que sea, y que en consecuencia una serie de números puede continuarse todo lo que se quiera. La misma idea, aunque de forma menos rígida, había sido expresada por los cabalistas: diez cifras, << diez sefiroth>>, Pueden generar todos los demás números com cuya serie es infinita. << Para los diez sefitoth no existe límite ni en el pasado, ni en el futuro>>. En este caso me limito a captar solo el significado formal-matemático de dichas afirmaciones, dejando a un lado el místico-metafísico; con este último no tengo por el momento, nada que ver.

Hemos llegado a admitir la continuabilidad infinita de la serie numérica. Queda por realizar otro paso, el último. Continuando la serie numérica tanto como se quiera, obtendremos siempre números finitos, y con la adición consecutiva de unidades no a travesaremos nunca el límite de lo finito, como fue demostrado rigurosamente por Cantor. El paso sucesivo consiste, entonces, en dar un proceso que cree símbolos nuevos y totalmente específicos que sometan también los conjuntos infinitos; queremos captar y articular la masa gris y monótona del infinito de tal modo que aparezcan individualizaciones en él. No nos bastan más los dedos para poder contar los conjuntos infinitos, podríamos decir. Es necesario inventarse unos nuevos. << y más que esto - o sea, más que el infinito - la mente humana no puede entender>>, dice el positivismo. Georg Cantor ha demostrado que el deseo de poner límites típico del positivismo era en vano, y trataremos de aportar un ensayo lo más sucinto posible acerca de algunas de sus ideas.

[1] Éléments de la Géométrie de l'infini, Paris 1727.

[2] Génesis, 22, 27.

[3] A. D’ Orbigny, L'homme américain, vol 2, Paris 1839, p.163.

[4] E. B. Tylor, Primitive Culture, London, 1871

[5] Chrisanf, Religii drevnego mira, p.415.

[6] El arenario.

[7] Mediante el uso de exponentes.

Referencias

Florenskij, P. A. (2007). Il simbolo e la forma. Scritti di filosofia della scienza, Bollati Boringhieri.

Vargas, F. (2013), Aritmología, infinito y trascendencia: hacia el lugar de las matemáticas en la filosofía de Pavel Florenski. In F. Zalamea (Ed.), Rondas en Sais, ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea (pp. 61-79). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.